Rezolvați 144x^2-128x+64=256

$$144 { x }^{ 2 } -128x+64=256$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{2 \sqrt{31} + 4}{9} \approx 1,681725414$$

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}\approx -0,792836525$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Scădeți 256 din ambele părți ale ecuației.

$$144x^{2}-128x+64-256=256-256$$

Scăderea 256 din el însuși are ca rezultat 0.

$$144x^{2}-128x+64-256=0$$

Scădeți 256 din 64.

$$144x^{2}-128x-192=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 144, b cu -128 și c cu -192 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Ridicați -128 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Înmulțiți -4 cu 144.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-576\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Înmulțiți -576 cu -192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384+110592}}{2\times 144}$$

Adunați 16384 cu 110592.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{126976}}{2\times 144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 126976.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

Opusul lui -128 este 128.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

Înmulțiți 2 cu 144.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288} atunci când ± este plus. Adunați 128 cu 64\sqrt{31}.

$$x=\frac{64\sqrt{31}+128}{288}$$

Împărțiți 128+64\sqrt{31} la 288.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288} atunci când ± este minus. Scădeți 64\sqrt{31} din 128.

$$x=\frac{128-64\sqrt{31}}{288}$$

Împărțiți 128-64\sqrt{31} la 288.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Scădeți 64 din ambele părți ale ecuației.

$$144x^{2}-128x+64-64=256-64$$

Scăderea 64 din el însuși are ca rezultat 0.

$$144x^{2}-128x=256-64$$

Scădeți 64 din 256.

$$144x^{2}-128x=192$$

Se împart ambele părți la 144.

$$\frac{144x^{2}-128x}{144}=\frac{192}{144}$$

Împărțirea la 144 anulează înmulțirea cu 144.

$$x^{2}+\left(-\frac{128}{144}\right)x=\frac{192}{144}$$

Reduceți fracția \frac{-128}{144} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{192}{144}$$

Reduceți fracția \frac{192}{144} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 48.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{4}{3}$$

Împărțiți -\frac{8}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{4}{3}+\frac{16}{81}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{16}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{124}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{124}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{31}}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{31}}{9}$$

Adunați \frac{4}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$