Rezolvați 140=-16t^2+20t+5

$$140 = - 16 t ^ { 2 } + 20 t + 5$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{-\sqrt{515}i+5}{8}\approx 0,625-2,836701429i$$

$$t=\frac{5+\sqrt{515}i}{8}\approx 0,625+2,836701429i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-16t^{2}+20t+5=140$$

Scădeți 140 din ambele părți.

$$-16t^{2}+20t+5-140=0$$

Scădeți 140 din 5 pentru a obține -135.

$$-16t^{2}+20t-135=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 20 și c cu -135 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-16\right)\left(-135\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-16\right)\left(-135\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+64\left(-135\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -135.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-8640}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 400 cu -8640.

$$t=\frac{-20±\sqrt{-8240}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -8240.

$$t=\frac{-20±4\sqrt{515}i}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$t=\frac{-20±4\sqrt{515}i}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±4\sqrt{515}i}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 4i\sqrt{515}.

$$t=\frac{-20+4\sqrt{515}i}{-32}$$

Împărțiți -20+4i\sqrt{515} la -32.

$$t=\frac{-\sqrt{515}i+5}{8}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±4\sqrt{515}i}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{515} din -20.

$$t=\frac{-4\sqrt{515}i-20}{-32}$$

Împărțiți -20-4i\sqrt{515} la -32.

$$t=\frac{5+\sqrt{515}i}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{-\sqrt{515}i+5}{8} t=\frac{5+\sqrt{515}i}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-16t^{2}+20t+5=140$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-16t^{2}+20t=140-5$$

Scădeți 5 din 140 pentru a obține 135.

$$-16t^{2}+20t=135$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16t^{2}+20t}{-16}=\frac{135}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$t^{2}+\frac{20}{-16}t=\frac{135}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{20}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$t^{2}-\frac{5}{4}t=\frac{135}{-16}$$

Împărțiți 135 la -16.

$$t^{2}-\frac{5}{4}t=-\frac{135}{16}$$

Împărțiți -\frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{5}{4}t+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{16}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=-\frac{135}{16}+\frac{25}{64}$$

Adunați -\frac{135}{16} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=-\frac{515}{64}$$

Factor t^{2}-\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{515}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{515}{64}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{515}i}{8} t-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{515}i}{8}$$

Adunați \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{5+\sqrt{515}i}{8} t=\frac{-\sqrt{515}i+5}{8}$$