Rezolvați 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 14x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -28 de produs.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-4 b=7$$

Rescrieți 14x^{2}+3x-2 ca \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Scoateți termenul comun 7x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 7x-2=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 14, b cu 3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Înmulțiți -4 cu 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Înmulțiți -56 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Adunați 9 cu 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Înmulțiți 2 cu 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±11}{28} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Reduceți fracția \frac{8}{28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±11}{28} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Se împart ambele părți la 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Împărțirea la 14 anulează înmulțirea cu 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Reduceți fracția \frac{2}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Împărțiți \frac{3}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{28}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Adunați \frac{1}{7} cu \frac{9}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Factorul x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Scădeți \frac{3}{28} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$