Rezolvați 13x^2-5x+4=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}\approx 0,192307692+0,520298048i$$

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}\approx 0,192307692-0,520298048i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 13, b cu -5 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -4 cu 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\times 4}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -52 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-208}}{2\times 13}$$

Adunați 25 cu -208.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-183}}{2\times 13}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -183.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Înmulțiți 2 cu 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu i\sqrt{183}.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{183} din 5.

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$13x^{2}-5x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$13x^{2}-5x=-4$$

Se împart ambele părți la 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=-\frac{4}{13}$$

Împărțirea la 13 anulează înmulțirea cu 13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=-\frac{4}{13}$$

Împărțiți -\frac{5}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{26}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{26} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{4}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{26} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{4}{13}+\frac{25}{676}$$

Adunați -\frac{4}{13} cu \frac{25}{676} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{183}{676}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{183}{676}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{183}{676}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{183}i}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{183}i}{26}$$

Adunați \frac{5}{26} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$