Rezolvați 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$13x-x^{2}=30$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=10 b=3$$

Rescrieți -x^{2}+13x-30 ca \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Factor -x în primul și 3 în al doilea grup.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$13x-x^{2}=30$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 13 și c cu -30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 169 cu -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți -20 la -2.

$$x=10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=10$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$13x-x^{2}=30$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Împărțiți 13 la -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Împărțiți 30 la -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Împărțiți -13, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=3$$