Rezolvați 13x^2+40x-22400=0

$$13 { x }^{ 2 } +40x-22400=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{560}{13} = -43\frac{1}{13} \approx -43,076923077$$

$$x=40$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 13x^{2}+ax+bx-22400. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=40 ab=13\left(-22400\right)=-291200$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -291200.

$$-1,291200 -2,145600 -4,72800 -5,58240 -7,41600 -8,36400 -10,29120 -13,22400 -14,20800 -16,18200 -20,14560 -25,11648 -26,11200 -28,10400 -32,9100 -35,8320 -40,7280 -50,5824 -52,5600 -56,5200 -64,4550 -65,4480 -70,4160 -80,3640 -91,3200 -100,2912 -104,2800 -112,2600 -128,2275 -130,2240 -140,2080 -160,1820 -175,1664 -182,1600 -200,1456 -208,1400 -224,1300 -260,1120 -280,1040 -320,910 -325,896 -350,832 -364,800 -400,728 -416,700 -448,650 -455,640 -520,560$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+291200=291199 -2+145600=145598 -4+72800=72796 -5+58240=58235 -7+41600=41593 -8+36400=36392 -10+29120=29110 -13+22400=22387 -14+20800=20786 -16+18200=18184 -20+14560=14540 -25+11648=11623 -26+11200=11174 -28+10400=10372 -32+9100=9068 -35+8320=8285 -40+7280=7240 -50+5824=5774 -52+5600=5548 -56+5200=5144 -64+4550=4486 -65+4480=4415 -70+4160=4090 -80+3640=3560 -91+3200=3109 -100+2912=2812 -104+2800=2696 -112+2600=2488 -128+2275=2147 -130+2240=2110 -140+2080=1940 -160+1820=1660 -175+1664=1489 -182+1600=1418 -200+1456=1256 -208+1400=1192 -224+1300=1076 -260+1120=860 -280+1040=760 -320+910=590 -325+896=571 -350+832=482 -364+800=436 -400+728=328 -416+700=284 -448+650=202 -455+640=185 -520+560=40$$

Soluția este perechea care dă suma de 40.

$$a=-520 b=560$$

Rescrieți 13x^{2}+40x-22400 ca \left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right).

$$\left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right)$$

Factor 13x în primul și 560 în al doilea grup.

$$13x\left(x-40\right)+560\left(x-40\right)$$

Scoateți termenul comun x-40 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-40\right)\left(13x+560\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-40=0 și 13x+560=0.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 13, b cu 40 și c cu -22400 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Ridicați 40 la pătrat.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -4 cu 13.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-52\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Înmulțiți -52 cu -22400.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+1164800}}{2\times 13}$$

Adunați 1600 cu 1164800.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1166400}}{2\times 13}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1166400.

$$x=\frac{-40±1080}{2\times 13}$$

Înmulțiți 2 cu 13.

$$x=\frac{-40±1080}{26}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-40±1080}{26} atunci când ± este plus. Adunați -40 cu 1080.

$$x=\frac{1040}{26}$$

Împărțiți 1040 la 26.

$$x=40$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-40±1080}{26} atunci când ± este minus. Scădeți 1080 din -40.

$$x=-\frac{1120}{26}$$

Reduceți fracția \frac{-1120}{26} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{560}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

Adunați 22400 la ambele părți ale ecuației.

$$13x^{2}+40x-22400-\left(-22400\right)=-\left(-22400\right)$$

Scăderea -22400 din el însuși are ca rezultat 0.

$$13x^{2}+40x=-\left(-22400\right)$$

Scădeți -22400 din 0.

$$13x^{2}+40x=22400$$

Se împart ambele părți la 13.

$$\frac{13x^{2}+40x}{13}=\frac{22400}{13}$$

Împărțirea la 13 anulează înmulțirea cu 13.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x=\frac{22400}{13}$$

Împărțiți \frac{40}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{20}{13}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{20}{13} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{22400}{13}+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{20}{13} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{22400}{13}+\frac{400}{169}$$

Adunați \frac{22400}{13} cu \frac{400}{169} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{291600}{169}$$

Factor x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{291600}{169}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{291600}{169}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{20}{13}=\frac{540}{13} x+\frac{20}{13}=-\frac{540}{13}$$

Scădeți \frac{20}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$