Rezolvați 128(1+x)(1+x)=200

$$128(1+x)(1+x)=200$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți 1+x cu 1+x pentru a obține \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+x\right)^{2}=200$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+2x+x^{2}\right)=200$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 128 cu 1+2x+x^{2}.

$$128+256x+128x^{2}=200$$

Scădeți 200 din ambele părți.

$$128+256x+128x^{2}-200=0$$

Scădeți 200 din 128 pentru a obține -72.

$$-72+256x+128x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$128x^{2}+256x-72=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 128, b cu 256 și c cu -72 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-256±\sqrt{256^{2}-4\times 128\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Ridicați 256 la pătrat.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536-4\times 128\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Înmulțiți -4 cu 128.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536-512\left(-72\right)}}{2\times 128}$$

Înmulțiți -512 cu -72.

$$x=\frac{-256±\sqrt{65536+36864}}{2\times 128}$$

Adunați 65536 cu 36864.

$$x=\frac{-256±\sqrt{102400}}{2\times 128}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 102400.

$$x=\frac{-256±320}{2\times 128}$$

Înmulțiți 2 cu 128.

$$x=\frac{-256±320}{256}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-256±320}{256} atunci când ± este plus. Adunați -256 cu 320.

$$x=\frac{64}{256}$$

Reduceți fracția \frac{64}{256} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 64.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-256±320}{256} atunci când ± este minus. Scădeți 320 din -256.

$$x=-\frac{576}{256}$$

Reduceți fracția \frac{-576}{256} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 64.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{9}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți 1+x cu 1+x pentru a obține \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+x\right)^{2}=200$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$128\left(1+2x+x^{2}\right)=200$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 128 cu 1+2x+x^{2}.

$$128+256x+128x^{2}=200$$

Scădeți 128 din ambele părți.

$$256x+128x^{2}=200-128$$

Scădeți 128 din 200 pentru a obține 72.

$$256x+128x^{2}=72$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$128x^{2}+256x=72$$

Se împart ambele părți la 128.

$$\frac{128x^{2}+256x}{128}=\frac{72}{128}$$

Împărțirea la 128 anulează înmulțirea cu 128.

$$x^{2}+\frac{256}{128}x=\frac{72}{128}$$

Împărțiți 256 la 128.

$$x^{2}+2x=\frac{72}{128}$$

Reduceți fracția \frac{72}{128} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}+2x=\frac{9}{16}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{9}{16}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{9}{16}+1$$

Adunați \frac{9}{16} cu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x+1=\frac{5}{4} x+1=-\frac{5}{4}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{9}{4}$$