Rezolvați 128x^2+384x=124

$$128 x ^ { 2 } + 384 x = 124$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}\approx 0,294087512$$

$$x=-\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}\approx -3,294087512$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$128x^{2}+384x=124$$

Scădeți 124 din ambele părți ale ecuației.

$$128x^{2}+384x-124=124-124$$

Scăderea 124 din el însuși are ca rezultat 0.

$$128x^{2}+384x-124=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 128, b cu 384 și c cu -124 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-384±\sqrt{384^{2}-4\times 128\left(-124\right)}}{2\times 128}$$

Ridicați 384 la pătrat.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456-4\times 128\left(-124\right)}}{2\times 128}$$

Înmulțiți -4 cu 128.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456-512\left(-124\right)}}{2\times 128}$$

Înmulțiți -512 cu -124.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456+63488}}{2\times 128}$$

Adunați 147456 cu 63488.

$$x=\frac{-384±\sqrt{210944}}{2\times 128}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 210944.

$$x=\frac{-384±32\sqrt{206}}{2\times 128}$$

Înmulțiți 2 cu 128.

$$x=\frac{-384±32\sqrt{206}}{256}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-384±32\sqrt{206}}{256} atunci când ± este plus. Adunați -384 cu 32\sqrt{206}.

$$x=\frac{32\sqrt{206}-384}{256}$$

Împărțiți -384+32\sqrt{206} la 256.

$$x=\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-384±32\sqrt{206}}{256} atunci când ± este minus. Scădeți 32\sqrt{206} din -384.

$$x=\frac{-32\sqrt{206}-384}{256}$$

Împărțiți -384-32\sqrt{206} la 256.

$$x=-\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$128x^{2}+384x=124$$

Se împart ambele părți la 128.

$$\frac{128x^{2}+384x}{128}=\frac{124}{128}$$

Împărțirea la 128 anulează înmulțirea cu 128.

$$x^{2}+\frac{384}{128}x=\frac{124}{128}$$

Împărțiți 384 la 128.

$$x^{2}+3x=\frac{124}{128}$$

Reduceți fracția \frac{124}{128} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+3x=\frac{31}{32}$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{31}{32}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{31}{32}+\frac{9}{4}$$

Adunați \frac{31}{32} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{103}{32}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{103}{32}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{32}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{206}}{8} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{206}}{8}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{206}}{8}-\frac{3}{2}$$