Rezolvați 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12345, b cu 54321 și c cu -99999 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Ridicați 54321 la pătrat.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Înmulțiți -4 cu 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Înmulțiți -49380 cu -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Adunați 2950771041 cu 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Înmulțiți 2 cu 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} atunci când ± este plus. Adunați -54321 cu 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Împărțiți -54321+3\sqrt{876524629} la 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{876524629} din -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Împărțiți -54321-3\sqrt{876524629} la 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Adunați 99999 la ambele părți ale ecuației.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Scăderea -99999 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Scădeți -99999 din 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Se împart ambele părți la 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Împărțirea la 12345 anulează înmulțirea cu 12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Reduceți fracția \frac{54321}{12345} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Reduceți fracția \frac{99999}{12345} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Împărțiți \frac{18107}{4115}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{18107}{8230}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{18107}{8230} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{18107}{8230} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Adunați \frac{33333}{4115} cu \frac{327863449}{67732900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Factor x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Scădeți \frac{18107}{8230} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$