Rezolvați 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-2300. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Soluția este perechea care dă suma de 200.

$$a=-30 b=230$$

Rescrieți 3x^{2}+200x-2300 ca \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Factor 3x în primul și 230 în al doilea grup.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 120, b cu 8000 și c cu -92000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Ridicați 8000 la pătrat.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Înmulțiți -4 cu 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Înmulțiți -480 cu -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Adunați 64000000 cu 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Înmulțiți 2 cu 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8000±10400}{240} atunci când ± este plus. Adunați -8000 cu 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Împărțiți 2400 la 240.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8000±10400}{240} atunci când ± este minus. Scădeți 10400 din -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Reduceți fracția \frac{-18400}{240} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Adunați 92000 la ambele părți ale ecuației.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Scăderea -92000 din el însuși are ca rezultat 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Scădeți -92000 din 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Se împart ambele părți la 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Împărțirea la 120 anulează înmulțirea cu 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Reduceți fracția \frac{8000}{120} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Reduceți fracția \frac{92000}{120} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Împărțiți \frac{200}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{100}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{100}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{100}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Adunați \frac{2300}{3} cu \frac{10000}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Scădeți \frac{100}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$