Rezolvați 12x^2-x-20

$$12 x ^ { 2 } - x - 20$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=12\left(-20\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-16 b=15$$

Rescrieți 12x^{2}-x-20 ca \left(12x^{2}-16x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(12x^{2}-16x\right)+\left(15x-20\right)$$

Factor 4x în primul și 5 în al doilea grup.

$$4x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-x-20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 12\left(-20\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-48\left(-20\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 12}$$

Adunați 1 cu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 12}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{1±31}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{24} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 31.

$$x=\frac{32}{24}$$

Reduceți fracția \frac{32}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din 1.

$$x=-\frac{30}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu -\frac{5}{4}.

$$12x^{2}-x-20=12\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}-x-20=12\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-20=12\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Adunați \frac{5}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-20=12\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{4x+5}{4}$$

Înmulțiți \frac{3x-4}{3} cu \frac{4x+5}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-20=12\times \frac{\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)}{3\times 4}$$

Înmulțiți 3 cu 4.

$$12x^{2}-x-20=12\times \frac{\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12x^{2}-x-20=\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-4\right)\left(4x+5\right)$$