Rezolvați 12x^2-5x-2

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-8 b=3$$

Rescrieți 12x^{2}-5x-2 ca \left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Scoateți factorul comun 4x din 12x^{2}-8x.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Adunați 25 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{24} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 11.

$$x=\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{2}{3} și x_{2} cu -\frac{1}{4}.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Adunați \frac{1}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Înmulțiți \frac{3x-2}{3} cu \frac{4x+1}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Înmulțiți 3 cu 4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$