Rezolvați 12x^2-320x+1600=0

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -320 și c cu 1600 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Ridicați -320 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 1600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

Adunați 102400 cu -76800.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

Opusul lui -320 este 320.

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{320±160}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{320±160}{24} atunci când ± este plus. Adunați 320 cu 160.

$$x=\frac{480}{24}$$

Împărțiți 480 la 24.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{320±160}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 160 din 320.

$$x=\frac{160}{24}$$

Reduceți fracția \frac{160}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{20}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Scădeți 1600 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

Scăderea 1600 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}-320x=-1600$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-320}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-1600}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

Împărțiți -\frac{80}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{40}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{40}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{40}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

Adunați -\frac{400}{3} cu \frac{1600}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

Factorul x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

Adunați \frac{40}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$