Rezolvați 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -2 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Adunați 4 cu -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{59} la 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{59} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{59} la 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Împărțiți -\frac{1}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Adunați -\frac{5}{12} cu \frac{1}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Adunați \frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$