Rezolvați 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -12 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Adunați 144 cu 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Împărțiți 12+12\sqrt{3} la 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 12\sqrt{3} din 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Împărțiți 12-12\sqrt{3} la 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Împărțiți -12 la 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$