Rezolvați 12x^2+5x-27=3x^2-13x

$$12 x ^ { 2 } + 5 x - 27 = 3 x ^ { 2 } - 13 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+5x-27-3x^{2}=-13x$$

Combinați 12x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+5x-27=-13x$$

Adăugați 13x la ambele părți.

$$9x^{2}+5x-27+13x=0$$

Combinați 5x cu 13x pentru a obține 18x.

$$9x^{2}+18x-27=0$$

Se împart ambele părți la 9.

$$x^{2}+2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=3$$

Rescrieți x^{2}+2x-3 ca \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+5x-27-3x^{2}=-13x$$

Combinați 12x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+5x-27=-13x$$

Adăugați 13x la ambele părți.

$$9x^{2}+5x-27+13x=0$$

Combinați 5x cu 13x pentru a obține 18x.

$$9x^{2}+18x-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 18 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 9\left(-27\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 9\left(-27\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-36\left(-27\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -27.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+972}}{2\times 9}$$

Adunați 324 cu 972.

$$x=\frac{-18±\sqrt{1296}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1296.

$$x=\frac{-18±36}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-18±36}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±36}{18} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 36.

$$x=\frac{18}{18}$$

Împărțiți 18 la 18.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±36}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 36 din -18.

$$x=-\frac{54}{18}$$

Împărțiți -54 la 18.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x^{2}+5x-27-3x^{2}=-13x$$

Combinați 12x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+5x-27=-13x$$

Adăugați 13x la ambele părți.

$$9x^{2}+5x-27+13x=0$$

Combinați 5x cu 13x pentru a obține 18x.

$$9x^{2}+18x-27=0$$

Adăugați 27 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$9x^{2}+18x=27$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+18x}{9}=\frac{27}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{18}{9}x=\frac{27}{9}$$

Împărțiți 18 la 9.

$$x^{2}+2x=\frac{27}{9}$$

Împărțiți 27 la 9.

$$x^{2}+2x=3$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=3+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=4$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x+1=2 x+1=-2$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-3$$