Rezolvați 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Descompunere în factori

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=-9 b=32$$

Rescrieți 12x^{2}+23x-24 ca \left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

Factor 3x în primul și 8 în al doilea grup.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 23 la pătrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Adunați 529 cu 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±41}{24} atunci când ± este plus. Adunați -23 cu 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±41}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 41 din -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-64}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{8}{3}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Adunați \frac{8}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Înmulțiți \frac{4x-3}{4} cu \frac{3x+8}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Evaluați

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$