Rezolvați 12x^2+17x+6

$$12 x ^ { 2 } + 17 x + 6$$

Descompunere în factori

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=12\times 6=72$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=8 b=9$$

Rescrieți 12x^{2}+17x+6 ca \left(12x^{2}+8x\right)+\left(9x+6\right).

$$\left(12x^{2}+8x\right)+\left(9x+6\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(3x+2\right)+3\left(3x+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+17x+6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\times 6}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\times 6}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-288}}{2\times 12}$$

Adunați 289 cu -288.

$$x=\frac{-17±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-17±1}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-17±1}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±1}{24} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 1.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±1}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -17.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{3} și x_{2} cu -\frac{3}{4}.

$$12x^{2}+17x+6=12\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}+17x+6=12\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{3x+2}{3}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{3x+2}{3}\times \frac{4x+3}{4}$$

Înmulțiți \frac{3x+2}{3} cu \frac{4x+3}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)}{3\times 4}$$

Înmulțiți 3 cu 4.

$$12x^{2}+17x+6=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12x^{2}+17x+6=\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(3x+2\right)\left(4x+3\right)$$