Rezolvați 12t^2-7t-10

$$12 t ^ { 2 } - 7 t - 10$$

Descompunere în factori

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12t^{2}+at+bt-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=12\left(-10\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-15 b=8$$

Rescrieți 12t^{2}-7t-10 ca \left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right).

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(8t-10\right)$$

Factor 3t în primul și 2 în al doilea grup.

$$3t\left(4t-5\right)+2\left(4t-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4t-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12t^{2}-7t-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-10\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -10.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 12}$$

Adunați 49 cu 480.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 12}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$t=\frac{7±23}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$t=\frac{7±23}{24}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±23}{24} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 23.

$$t=\frac{30}{24}$$

Reduceți fracția \frac{30}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$t=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±23}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din 7.

$$t=-\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$t=-\frac{2}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{4} și x_{2} cu -\frac{2}{3}.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12t^{2}-7t-10=12\left(t-\frac{5}{4}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{5}{4} din t găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\left(t+\frac{2}{3}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu t găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{4t-5}{4}\times \frac{3t+2}{3}$$

Înmulțiți \frac{4t-5}{4} cu \frac{3t+2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{4\times 3}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$12t^{2}-7t-10=12\times \frac{\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12t^{2}-7t-10=\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$

Evaluați

$$\left(4t-5\right)\left(3t+2\right)$$