Rezolvați 12q^2+23q+10

$$12 q ^ { 2 } + 23 q + 10$$

Descompunere în factori

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12q^{2}+aq+bq+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=8 b=15$$

Rescrieți 12q^{2}+23q+10 ca \left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right).

$$\left(12q^{2}+8q\right)+\left(15q+10\right)$$

Factor 4q în primul și 5 în al doilea grup.

$$4q\left(3q+2\right)+5\left(3q+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3q+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12q^{2}+23q+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$q=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Ridicați 23 la pătrat.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 10.

$$q=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Adunați 529 cu -480.

$$q=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$q=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$q=\frac{-23±7}{24}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{-23±7}{24} atunci când ± este plus. Adunați -23 cu 7.

$$q=-\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$q=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{-23±7}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -23.

$$q=-\frac{30}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$q=-\frac{5}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{3} și x_{2} cu -\frac{5}{4}.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12q^{2}+23q+10=12\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu q găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\left(q+\frac{5}{4}\right)$$

Adunați \frac{5}{4} cu q găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{3q+2}{3}\times \frac{4q+5}{4}$$

Înmulțiți \frac{3q+2}{3} cu \frac{4q+5}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{3\times 4}$$

Înmulțiți 3 cu 4.

$$12q^{2}+23q+10=12\times \frac{\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12q^{2}+23q+10=\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$

Evaluați

$$\left(3q+2\right)\left(4q+5\right)$$