Rezolvați 12k^2+16k-3

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

Descompunere în factori

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12k^{2}+ak+bk-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=-2 b=18$$

Rescrieți 12k^{2}+16k-3 ca \left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right).

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

Factor 2k în primul și 3 în al doilea grup.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

Scoateți termenul comun 6k-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Adunați 256 cu 144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-16±20}{24} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 20.

$$k=\frac{4}{24}$$

Reduceți fracția \frac{4}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$k=\frac{1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-16±20}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din -16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-36}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{6} și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Scădeți \frac{1}{6} din k găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu k găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

Înmulțiți \frac{6k-1}{6} cu \frac{2k+3}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

Înmulțiți 6 cu 2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Evaluați

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$