Rezolvați 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Descompunere în factori

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 3.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Să luăm 4k^{2}+5k-9. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4k^{2}+ak+bk-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-4 b=9$$

Rescrieți 4k^{2}+5k-9 ca \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

Factor 4k în primul și 9 în al doilea grup.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Scoateți termenul comun k-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Adunați 225 cu 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-15±39}{24} atunci când ± este plus. Adunați -15 cu 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Împărțiți 24 la 24.

$$k=1$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-15±39}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 39 din -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-54}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 1 și x_{2} cu -\frac{9}{4}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Adunați \frac{9}{4} cu k găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 12 și 4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Evaluați

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$