Rezolvați 12g^2+80g+48

$$12 g ^ { 2 } + 80 g + 48$$

Descompunere în factori

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 4.

$$4\left(3g^{2}+20g+12\right)$$

Să luăm 3g^{2}+20g+12. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3g^{2}+ag+bg+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=2 b=18$$

Rescrieți 3g^{2}+20g+12 ca \left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right).

$$\left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right)$$

Factor g în primul și 6 în al doilea grup.

$$g\left(3g+2\right)+6\left(3g+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3g+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12g^{2}+80g+48=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$g=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

Ridicați 80 la pătrat.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 48}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 48.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-2304}}{2\times 12}$$

Adunați 6400 cu -2304.

$$g=\frac{-80±\sqrt{4096}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4096.

$$g=\frac{-80±64}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$g=\frac{-80±64}{24}$$

Acum rezolvați ecuația g=\frac{-80±64}{24} atunci când ± este plus. Adunați -80 cu 64.

$$g=-\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$g=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația g=\frac{-80±64}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 64 din -80.

$$g=-\frac{144}{24}$$

Împărțiți -144 la 24.

$$g=-6$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{3} și x_{2} cu -6.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(g-\left(-6\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g+\frac{2}{3}\right)\left(g+6\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu g găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12g^{2}+80g+48=12\times \frac{3g+2}{3}\left(g+6\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 12 și 3.

$$12g^{2}+80g+48=4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Evaluați

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$