Rezolvați 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Descompunere în factori

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12c^{2}+ac+bc-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-9 b=20$$

Rescrieți 12c^{2}+11c-15 ca \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Factor 3c în primul și 5 în al doilea grup.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4c-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Adunați 121 cu 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{-11±29}{24} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația c=\frac{-11±29}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 29 din -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{5}{3}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din c găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Adunați \frac{5}{3} cu c găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Înmulțiți \frac{4c-3}{4} cu \frac{3c+5}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Evaluați

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$