Rezolvați 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Rezolvați pentru n

$$n=6$$

$$n=15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12 cu n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Scădeți 30 din -48 pentru a obține -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adăugați 9n la ambele părți.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combinați 12n cu 9n pentru a obține 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Scădeți 12 din -78 pentru a obține -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -n^{2}+an+bn-90. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 90 de produs.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Soluția este perechea care dă suma de 21.

$$a=15 b=6$$

Rescrieți -n^{2}+21n-90 ca \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Scoateți scoateți factorul -n din primul și 6 din cel de-al doilea grup.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Scoateți termenul comun n-15 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați n-15=0 și -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12 cu n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Scădeți 30 din -48 pentru a obține -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adăugați 9n la ambele părți.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combinați 12n cu 9n pentru a obține 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Scădeți 12 din -78 pentru a obține -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 21 și c cu -90 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 21 la pătrat.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 441 cu -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-21±9}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -21 cu 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Împărțiți -12 la -2.

$$n=6$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-21±9}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Împărțiți -30 la -2.

$$n=15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=6 n=15$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12 cu n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Scădeți 30 din -48 pentru a obține -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Scădeți n^{2} din ambele părți.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Adăugați 9n la ambele părți.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combinați 12n cu 9n pentru a obține 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Adăugați 78 la ambele părți.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Adunați 12 și 78 pentru a obține 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Împărțiți 21 la -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Împărțiți 90 la -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Împărțiți -21, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{21}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{21}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Adunați -90 cu \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Factorul n^{2}-21n+\frac{441}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adunați \frac{21}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=15 n=6$$