Rezolvați 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Descompunere în factori

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12z^{2}+az+bz-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-16 b=9$$

Rescrieți 12z^{2}-7z-12 ca \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Factor 4z în primul și 3 în al doilea grup.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3z-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Adunați 49 cu 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{7±25}{24} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Reduceți fracția \frac{32}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{7±25}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 25 din 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu -\frac{3}{4}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din z găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu z găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Înmulțiți \frac{3z-4}{3} cu \frac{4z+3}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Înmulțiți 3 cu 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Evaluați

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$