Rezolvați 12x^2-x-6

$$12 { x }^{ 2 } -x-6$$

Descompunere în factori

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=12\left(-6\right)=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-9 b=8$$

Rescrieți 12x^{2}-x-6 ca \left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-x-6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 12}$$

Adunați 1 cu 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 12}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{1±17}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±17}{24} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 17.

$$x=\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±17}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din 1.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{2}{3}.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+2}{3}$$

Înmulțiți \frac{4x-3}{4} cu \frac{3x+2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{4\times 3}$$

Înmulțiți 4 cu 3.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{12}$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 12 și 12.

$$12x^{2}-x-6=\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Evaluați

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$