Rezolvați 12x^2-160x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -160 și c cu 400 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Ridicați -160 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Adunați 25600 cu -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

Opusul lui -160 este 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{160±80}{24} atunci când ± este plus. Adunați 160 cu 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

Împărțiți 240 la 24.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{160±80}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 80 din 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

Reduceți fracția \frac{80}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Scădeți 400 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Scăderea 400 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-160}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-400}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Împărțiți -\frac{40}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{20}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{20}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{20}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

Adunați -\frac{100}{3} cu \frac{400}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Adunați \frac{20}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$