Rezolvați 12x^2-102x+160=0

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu -102 și c cu 160 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Ridicați -102 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Adunați 10404 cu -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Opusul lui -102 este 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} atunci când ± este plus. Adunați 102 cu 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Împărțiți 102+2\sqrt{681} la 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{681} din 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Împărțiți 102-2\sqrt{681} la 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Scădeți 160 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Scăderea 160 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-102}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-160}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Împărțiți -\frac{17}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Adunați -\frac{40}{3} cu \frac{289}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Factorul x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Adunați \frac{17}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$