Rezolvați 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Descompunere în factori

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 4.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Să luăm 3x^{2}+20x+25. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=5 b=15$$

Rescrieți 3x^{2}+20x+25 ca \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Ridicați 80 la pătrat.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Adunați 6400 cu -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-80±40}{24} atunci când ± este plus. Adunați -80 cu 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-80±40}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Împărțiți -120 la 24.

$$x=-5$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{5}{3} și x_{2} cu -5.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Adunați \frac{5}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 12 și 3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Evaluați

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$