Rezolvați 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 60 de produs.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 32.

$$a=2 b=30$$

Rescrieți 12x^{2}+32x+5 ca \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 6x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 6x+1=0 și 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 32 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Ridicați 32 la pătrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Adunați 1024 cu -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±28}{24} atunci când ± este plus. Adunați -32 cu 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-32±28}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Reduceți fracția \frac{32}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Împărțiți \frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Adunați -\frac{5}{12} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Factorul x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$