Rezolvați 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 25 și c cu -45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Adunați 625 cu 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} atunci când ± este plus. Adunați -25 cu \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{2785} din -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Adunați 45 la ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Scăderea -45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Scădeți -45 din 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Reduceți fracția \frac{45}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Împărțiți \frac{25}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{25}{24}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{25}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{25}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Adunați \frac{15}{4} cu \frac{625}{576} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Factorul x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Scădeți \frac{25}{24} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$