Rezolvați 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 12x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=4 b=9$$

Rescrieți 12x^{2}+13x+3 ca \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+1=0 și 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 12, b cu 13 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Înmulțiți -48 cu 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Adunați 169 cu -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Înmulțiți 2 cu 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±5}{24} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±5}{24} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Se împart ambele părți la 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Împărțirea la 12 anulează înmulțirea cu 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{13}{12}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{24}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{24} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{24} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Adunați -\frac{1}{4} cu \frac{169}{576} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Scădeți \frac{13}{24} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$