Rezolvați 115x+100x^2+30

$$115 x + 100 x ^ { 2 } + 30$$

Descompunere în factori

$$5\left(4x+3\right)\left(5x+2\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 5.

$$5\left(23x+20x^{2}+6\right)$$

Să luăm 23x+20x^{2}+6. Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$20x^{2}+23x+6$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 20x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=20\times 6=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=8 b=15$$

Rescrieți 20x^{2}+23x+6 ca \left(20x^{2}+8x\right)+\left(15x+6\right).

$$\left(20x^{2}+8x\right)+\left(15x+6\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(5x+2\right)+3\left(5x+2\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$5\left(5x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$100x^{2}+115x+30=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-115±\sqrt{115^{2}-4\times 100\times 30}}{2\times 100}$$

Ridicați 115 la pătrat.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-4\times 100\times 30}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -4 cu 100.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-400\times 30}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -400 cu 30.

$$x=\frac{-115±\sqrt{13225-12000}}{2\times 100}$$

Adunați 13225 cu -12000.

$$x=\frac{-115±\sqrt{1225}}{2\times 100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1225.

$$x=\frac{-115±35}{2\times 100}$$

Înmulțiți 2 cu 100.

$$x=\frac{-115±35}{200}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-115±35}{200} atunci când ± este plus. Adunați -115 cu 35.

$$x=-\frac{80}{200}$$

Reduceți fracția \frac{-80}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 40.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-115±35}{200} atunci când ± este minus. Scădeți 35 din -115.

$$x=-\frac{150}{200}$$

Reduceți fracția \frac{-150}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 50.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{5} și x_{2} cu -\frac{3}{4}.

$$100x^{2}+115x+30=100\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$100x^{2}+115x+30=100\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{2}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$100x^{2}+115x+30=100\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$100x^{2}+115x+30=100\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{4x+3}{4}$$

Înmulțiți \frac{5x+2}{5} cu \frac{4x+3}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$100x^{2}+115x+30=100\times \frac{\left(5x+2\right)\left(4x+3\right)}{5\times 4}$$

Înmulțiți 5 cu 4.

$$100x^{2}+115x+30=100\times \frac{\left(5x+2\right)\left(4x+3\right)}{20}$$

Simplificați cu 20, cel mai mare factor comun din 100 și 20.

$$100x^{2}+115x+30=5\left(5x+2\right)\left(4x+3\right)$$

Evaluați

$$100x^{2}+115x+30$$