Rezolvați 112x^2-7x-9=0

$$112 x ^ { 2 } - 7 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}\approx 0,316440647$$

$$x=-\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}\approx -0,253940647$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$112x^{2}-7x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 112, b cu -7 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 112\left(-9\right)}}{2\times 112}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 112\left(-9\right)}}{2\times 112}$$

Înmulțiți -4 cu 112.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-448\left(-9\right)}}{2\times 112}$$

Înmulțiți -448 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4032}}{2\times 112}$$

Adunați 49 cu 4032.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4081}}{2\times 112}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{4081}}{2\times 112}$$

Înmulțiți 2 cu 112.

$$x=\frac{7±\sqrt{4081}}{224}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{4081}}{224} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{4081}.

$$x=\frac{\sqrt{4081}+7}{224}$$

Împărțiți 7+\sqrt{4081} la 224.

$$x=\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{4081}}{224} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{4081} din 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{4081}}{224}$$

Împărțiți 7-\sqrt{4081} la 224.

$$x=-\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32} x=-\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$112x^{2}-7x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$112x^{2}-7x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$112x^{2}-7x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$112x^{2}-7x=9$$

Se împart ambele părți la 112.

$$\frac{112x^{2}-7x}{112}=\frac{9}{112}$$

Împărțirea la 112 anulează înmulțirea cu 112.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{112}\right)x=\frac{9}{112}$$

Reduceți fracția \frac{-7}{112} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 7.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{112}$$

Împărțiți -\frac{1}{16}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{32}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{32} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=\frac{9}{112}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{32} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=\frac{9}{112}+\frac{1}{1024}$$

Adunați \frac{9}{112} cu \frac{1}{1024} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=\frac{583}{7168}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=\frac{583}{7168}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{583}{7168}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{\sqrt{4081}}{224} x-\frac{1}{32}=-\frac{\sqrt{4081}}{224}$$

Adunați \frac{1}{32} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32} x=-\frac{\sqrt{4081}}{224}+\frac{1}{32}$$