Rezolvați 112=6x-1/2*75x^2

$$112 = 6 x - \frac { 1 } { 2 } \times 75 x ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}\approx 0,08+1,726344886i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}\approx 0,08-1,726344886i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 75 pentru a obține \frac{75}{2}.

$$112=6x-\frac{75}{2}x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}=112$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}-112=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-\frac{75}{2}x^{2}+6x-112=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -\frac{75}{2}, b cu 6 și c cu -112 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{75}{2}\right)\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{75}{2}\right)\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+150\left(-112\right)}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Înmulțiți 150 cu -112.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16800}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Adunați 36 cu -16800.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-16764}}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -16764.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{2\left(-\frac{75}{2}\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 2i\sqrt{4191}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{4191}i}{-75}$$

Împărțiți -6+2i\sqrt{4191} la -75.

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{4191}i}{-75} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{4191} din -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{4191}i-6}{-75}$$

Împărțiți -6-2i\sqrt{4191} la -75.

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25} x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți \frac{1}{2} cu 75 pentru a obține \frac{75}{2}.

$$112=6x-\frac{75}{2}x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$6x-\frac{75}{2}x^{2}=112$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-\frac{75}{2}x^{2}+6x=112$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{75}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{-\frac{75}{2}x^{2}+6x}{-\frac{75}{2}}=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Împărțirea la -\frac{75}{2} anulează înmulțirea cu -\frac{75}{2}.

$$x^{2}+\frac{6}{-\frac{75}{2}}x=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Împărțiți 6 la -\frac{75}{2} înmulțind pe 6 cu reciproca lui -\frac{75}{2}.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x=\frac{112}{-\frac{75}{2}}$$

Împărțiți 112 la -\frac{75}{2} înmulțind pe 112 cu reciproca lui -\frac{75}{2}.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x=-\frac{224}{75}$$

Împărțiți -\frac{4}{25}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{25}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{25} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\left(-\frac{2}{25}\right)^{2}=-\frac{224}{75}+\left(-\frac{2}{25}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{25} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625}=-\frac{224}{75}+\frac{4}{625}$$

Adunați -\frac{224}{75} cu \frac{4}{625} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625}=-\frac{5588}{1875}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{25}x+\frac{4}{625}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{25}\right)^{2}=-\frac{5588}{1875}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5588}{1875}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{25}=\frac{2\sqrt{4191}i}{75} x-\frac{2}{25}=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}$$

Adunați \frac{2}{25} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25} x=-\frac{2\sqrt{4191}i}{75}+\frac{2}{25}$$