Rezolvați 110x-10x^2=2800

$$110x-10 { x }^{ 2 } =2800$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}\approx 5,5+15,803480629i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}\approx 5,5-15,803480629i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Scădeți 2800 din ambele părți ale ecuației.

$$-10x^{2}+110x-2800=2800-2800$$

Scăderea 2800 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-10x^{2}+110x-2800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -10, b cu 110 și c cu -2800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați 110 la pătrat.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+40\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 40 cu -2800.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-112000}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 12100 cu -112000.

$$x=\frac{-110±\sqrt{-99900}}{2\left(-10\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -99900.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} atunci când ± este plus. Adunați -110 cu 30i\sqrt{111}.

$$x=\frac{-110+30\sqrt{111}i}{-20}$$

Împărțiți -110+30i\sqrt{111} la -20.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți 30i\sqrt{111} din -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{111}i-110}{-20}$$

Împărțiți -110-30i\sqrt{111} la -20.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2} x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Se împart ambele părți la -10.

$$\frac{-10x^{2}+110x}{-10}=\frac{2800}{-10}$$

Împărțirea la -10 anulează înmulțirea cu -10.

$$x^{2}+\frac{110}{-10}x=\frac{2800}{-10}$$

Împărțiți 110 la -10.

$$x^{2}-11x=\frac{2800}{-10}$$

Împărțiți 2800 la -10.

$$x^{2}-11x=-280$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-280+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-280+\frac{121}{4}$$

Adunați -280 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-\frac{999}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=-\frac{999}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{999}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3\sqrt{111}i}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3\sqrt{111}i}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$