Rezolvați 11y^2+y=2

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0,383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0,47427187$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$11y^{2}+y=2$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$11y^{2}+y-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 11, b cu 1 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -44 cu -2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

Adunați 1 cu 88.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

Înmulțiți 2 cu 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{89}.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{89} din -1.

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$11y^{2}+y=2$$

Se împart ambele părți la 11.

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

Împărțirea la 11 anulează înmulțirea cu 11.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

Împărțiți \frac{1}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{22}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{22} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{22} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

Adunați \frac{2}{11} cu \frac{1}{484} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

Scădeți \frac{1}{22} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$