Rezolvați 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Rezolvați pentru y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3y^{2} din ambele părți.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3y^{2}+ay+by+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=12 b=-1$$

Rescrieți -3y^{2}+11y+4 ca \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Scoateți factorul comun 3y din -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Scoateți termenul comun -y+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -y+4=0 și 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3y^{2} din ambele părți.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 11 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 121 cu 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-11±13}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-11±13}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Împărțiți -24 la -6.

$$y=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3y^{2} din ambele părți.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Împărțiți 11 la -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Împărțiți -4 la -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Împărțiți -\frac{11}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{121}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Adunați \frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$