Rezolvați 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0,70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0,387995381$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 11, b cu -12 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -44 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

Adunați 144 cu -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Înmulțiți 2 cu 11.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

Împărțiți 12+2\sqrt{3} la 22.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{3} din 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

Împărțiți 12-2\sqrt{3} la 22.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$11x^{2}-12x=-3$$

Se împart ambele părți la 11.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

Împărțirea la 11 anulează înmulțirea cu 11.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

Împărțiți -\frac{12}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

Adunați -\frac{3}{11} cu \frac{36}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

Adunați \frac{6}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$