Rezolvați 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 11, b cu -10 și c cu 13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -44 cu 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Adunați 100 cu -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Înmulțiți 2 cu 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Împărțiți 10+2i\sqrt{118} la 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{118} din 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Împărțiți 10-2i\sqrt{118} la 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Scădeți 13 din ambele părți ale ecuației.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Scăderea 13 din el însuși are ca rezultat 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Se împart ambele părți la 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Împărțirea la 11 anulează înmulțirea cu 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Împărțiți -\frac{10}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Adunați -\frac{13}{11} cu \frac{25}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Adunați \frac{5}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$