Rezolvați 1034=x^2+30x-110

$$1034 = x ^ { 2 } + 30 x - 110$$

Rezolvați pentru x

$$x=-52$$

$$x=22$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Scădeți 1034 din ambele părți.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Scădeți 1034 din -110 pentru a obține -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}+30x-1144 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=30 ab=-1144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -1144 de produs.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Soluția este perechea care dă suma de 30.

$$a=-22 b=52$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-22=0 și x+52=0.

$$x=22 x=-52$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Scădeți 1034 din ambele părți.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Scădeți 1034 din -110 pentru a obține -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-1144. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=30 ab=1\left(-1144\right)=-1144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -1144 de produs.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Soluția este perechea care dă suma de 30.

$$a=-22 b=52$$

Rescrieți x^{2}+30x-1144 ca \left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right).

$$\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 52 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-22\right)+52\left(x-22\right)$$

Scoateți termenul comun x-22 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-22=0 și x+52=0.

$$x=22 x=-52$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Scădeți 1034 din ambele părți.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Scădeți 1034 din -110 pentru a obține -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 30 și c cu -1144 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -1144.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+4576}}{2}$$

Adunați 900 cu 4576.

$$x=\frac{-30±\sqrt{5476}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5476.

$$x=\frac{-30±74}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±74}{2} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 74.

$$x=\frac{44}{2}$$

Împărțiți 44 la 2.

$$x=22$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±74}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 74 din -30.

$$x=-\frac{104}{2}$$

Împărțiți -104 la 2.

$$x=-52$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=22 x=-52$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Adăugați 110 la ambele părți.

$$x^{2}+30x=1034+110$$

Adunați 1034 și 110 pentru a obține 1144.

$$x^{2}+30x=1144$$

Împărțiți 30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 15. Apoi, adunați pătratul lui 15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+30x+15^{2}=1144+15^{2}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$x^{2}+30x+225=1144+225$$

Adunați 1144 cu 225.

$$x^{2}+30x+225=1369$$

Factorul x^{2}+30x+225. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=1369$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{1369}$$

Simplificați.

$$x+15=37 x+15=-37$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$x=22 x=-52$$