Rezolvați 1024x^2+768x+1280=0

$$1024 { x }^{ 2 } +768x+1280=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0,375+1,053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0,375-1,053268722i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1024, b cu 768 și c cu 1280 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-768±\sqrt{768^{2}-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

Ridicați 768 la pătrat.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

Înmulțiți -4 cu 1024.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4096\times 1280}}{2\times 1024}$$

Înmulțiți -4096 cu 1280.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-5242880}}{2\times 1024}$$

Adunați 589824 cu -5242880.

$$x=\frac{-768±\sqrt{-4653056}}{2\times 1024}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -4653056.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2\times 1024}$$

Înmulțiți 2 cu 1024.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} atunci când ± este plus. Adunați -768 cu 256i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-768+256\sqrt{71}i}{2048}$$

Împărțiți -768+256i\sqrt{71} la 2048.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} atunci când ± este minus. Scădeți 256i\sqrt{71} din -768.

$$x=\frac{-256\sqrt{71}i-768}{2048}$$

Împărțiți -768-256i\sqrt{71} la 2048.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

Scădeți 1280 din ambele părți ale ecuației.

$$1024x^{2}+768x+1280-1280=-1280$$

Scăderea 1280 din el însuși are ca rezultat 0.

$$1024x^{2}+768x=-1280$$

Se împart ambele părți la 1024.

$$\frac{1024x^{2}+768x}{1024}=-\frac{1280}{1024}$$

Împărțirea la 1024 anulează înmulțirea cu 1024.

$$x^{2}+\frac{768}{1024}x=-\frac{1280}{1024}$$

Reduceți fracția \frac{768}{1024} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 256.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1280}{1024}$$

Reduceți fracția \frac{-1280}{1024} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 256.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Împărțiți \frac{3}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Adunați -\frac{5}{4} cu \frac{9}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

Scădeți \frac{3}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$