Rezolvați 100y^2-60y+9=1

$$100 y ^ { 2 } - 60 y + 9 = 1$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{1}{5}=0,2$$

$$y=\frac{2}{5}=0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 1 din ambele părți.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Scădeți 1 din 9 pentru a obține 8.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$25y^{2}-15y+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25y^{2}+ay+by+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=25\times 2=50$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 50.

$$-1,-50 -2,-25 -5,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-50=-51 -2-25=-27 -5-10=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-10 b=-5$$

Rescrieți 25y^{2}-15y+2 ca \left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right).

$$\left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right)$$

Factor 5y în primul și -1 în al doilea grup.

$$5y\left(5y-2\right)-\left(5y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 5y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5y-2\right)\left(5y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5y-2=0 și 5y-1=0.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$100y^{2}-60y+9-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Scădeți 1 din 9.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 100, b cu -60 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -4 cu 100.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-400\times 8}}{2\times 100}$$

Înmulțiți -400 cu 8.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 100}$$

Adunați 3600 cu -3200.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 100}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$y=\frac{60±20}{2\times 100}$$

Înmulțiți 2 cu 100.

$$y=\frac{60±20}{200}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{60±20}{200} atunci când ± este plus. Adunați 60 cu 20.

$$y=\frac{80}{200}$$

Reduceți fracția \frac{80}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 40.

$$y=\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{60±20}{200} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 60.

$$y=\frac{40}{200}$$

Reduceți fracția \frac{40}{200} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 40.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$100y^{2}-60y+9-9=1-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$100y^{2}-60y=1-9$$

Scădeți 9 din 1.

$$100y^{2}-60y=-8$$

Se împart ambele părți la 100.

$$\frac{100y^{2}-60y}{100}=-\frac{8}{100}$$

Împărțirea la 100 anulează înmulțirea cu 100.

$$y^{2}+\left(-\frac{60}{100}\right)y=-\frac{8}{100}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{100} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 20.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{8}{100}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{100} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{2}{25}$$

Împărțiți -\frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=-\frac{2}{25}+\frac{9}{100}$$

Adunați -\frac{2}{25} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{1}{100}$$

Factor y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{1}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{100}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{1}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{1}{10}$$

Adunați \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$