Rezolvați 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu -1 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Adunați 1 cu -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -119.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{119} din 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$10x^{2}-x=-3$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Împărțiți -\frac{1}{10}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{20}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{20} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{20} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Adunați -\frac{3}{10} cu \frac{1}{400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Adunați \frac{1}{20} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$