Rezolvați 10x^2-7x-12geq0

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12 \geq 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 10, b cu -7 și c cu -12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{7±23}{20} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{4}{5}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)\geq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≥0, x-\frac{3}{2} și x+\frac{4}{5} trebuie să fie ambele fie ≤0, fie ≥0. Tratați cazul în care atât x-\frac{3}{2}, cât și x+\frac{4}{5} sunt ≤0.

$$x-\frac{3}{2}\leq 0 x+\frac{4}{5}\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\leq -\frac{4}{5}.

$$x\leq -\frac{4}{5}$$

Tratați cazul în care atât x-\frac{3}{2}, cât și x+\frac{4}{5} sunt ≥0.

$$x+\frac{4}{5}\geq 0 x-\frac{3}{2}\geq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\geq \frac{3}{2}.

$$x\geq \frac{3}{2}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\leq -\frac{4}{5}\text{; }x\geq \frac{3}{2}$$