Rezolvați 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1,352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0,147920271$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu -15 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Adunați 225 cu -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

Împărțiți 15+\sqrt{145} la 20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{145} din 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

Împărțiți 15-\sqrt{145} la 20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-15}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$