Rezolvați 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 10x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-8 b=15$$

Rescrieți 10x^{2}+7x-12 ca \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-4=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu 7 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Adunați 49 cu 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±23}{20} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Reduceți fracția \frac{16}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±23}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Reduceți fracția \frac{12}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Împărțiți \frac{7}{10}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{20}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{20} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{20} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Adunați \frac{6}{5} cu \frac{49}{400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Scădeți \frac{7}{20} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$