Rezolvați 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Descompunere în factori

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 10p^{2}+ap+bp+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 20 de produs.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=4 b=5$$

Rescrieți 10p^{2}+9p+2 ca \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Scoateți factorul comun 2p din 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Scoateți termenul comun 5p+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Adunați 81 cu -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-9±1}{20} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-9±1}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{5} și x_{2} cu -\frac{1}{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Adunați \frac{2}{5} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Adunați \frac{1}{2} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Înmulțiți \frac{5p+2}{5} cu \frac{2p+1}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Înmulțiți 5 cu 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Simplificați cu 10, cel mai mare factor comun din 10 și 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Evaluați

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$