Rezolvați 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 10k^{2}+ak+bk-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=-1 b=10$$

Rescrieți 10k^{2}+9k-1 ca \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Scoateți factorul comun k din 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Scoateți termenul comun 10k-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 10k-1=0 și k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 10, b cu 9 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -4 cu 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Înmulțiți -40 cu -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Adunați 81 cu 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Înmulțiți 2 cu 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±11}{20} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Reduceți fracția \frac{2}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-9±11}{20} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Împărțiți -20 la 20.

$$k=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Se împart ambele părți la 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Împărțirea la 10 anulează înmulțirea cu 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Împărțiți \frac{9}{10}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{20}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{20} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{20} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Adunați \frac{1}{10} cu \frac{81}{400} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Factor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Scădeți \frac{9}{20} din ambele părți ale ecuației.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$